Об изучении спектра семейства дифференциальных операторов, потенциалы которых сходятся к дельта-функции Дирака 

Сергей Иванович Митрохин, кандидат физико-математических наук, доцент, старший научный сотрудник Научно-исследовательского вычислительного центра, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова (Россия, г. Москва, Ленинские Горы, 1, строение 6), E-mail: mitrokhin-sergey@yandex.ru 

517.9 

DOI

10.21685/2072-3040-2021-1-3 

Актуальность и цели. В работе предлагается новый метод исследования дифференциальных операторов с разрывными коэффициентами. Изучается последовательность дифференциальных операторов высокого четного порядка, потенциалы которых сходятся к дельта-функции Дирака. Предполагается, что потенциал оператора является кусочно-суммируемой функцией на отрезке задания оператора. В точках разрыва потенциала требуется выполнение условий «склейки» для корректного определения решений соответствующих дифференциальных уравнений. Исследованы спектральные свойства дифференциальных операторов, заданных на конечном отрезке, с одним из видов разделенных граничных условий. При больших значениях спектрального параметра методом Наймарка получена асимптотика фундаментальной системы решений соответствующих дифференциальных уравнений. С помощью этой асимптотики изучены условия «склейки» рассматриваемого дифференциального оператора. Затем изучены граничные условия исследуемого оператора. В результате выведено уравнение на собственные значения изучаемого оператора, которое представляет собой целую функцию. Исследована индикаторная диаграмма уравнения на собственные значения, которая является правильным шеснадцатиугольником. В различных секторах индикаторной диаграммы методом последовательных приближений Пикара найдена асимптотика собственных значений изучаемых дифференциальных операторов. В предельном случае найденная асимптотика собственных значений стремится к асимптотике собственных значений оператора, потенциалом которого является дельта-функция Дирака.
Материалы и методы. Асимптотика фундаментальной системы решений дифференциальных уравнений с суммируемыми потенциалами при больших значениях спектрального параметра получена обобщенным методом Наймарка. Для нахождения корней уравнения на собственные значения изучаемого оператора методом Беллмана – Кука исследована индикаторная диаграмма, которая является правильным шеснадцатиугольником. Асимптотика собственных значений изучаемых дифференциальных операторов в различных секторах индикаторной диаграммы найдена методом последовательных приближений Пикара.
Результаты. Изучен спектр ранее не изучаемого семейства дифференциальных операторов высокого четного порядка, потенциалы которых сходятся к дельта-функции Дирака. С учетом условия «склейки» в точках разрыва потенциалов доказано, что уравнение на собственные значения представляет собой квазиполином, корни которого можно найти методом Беллмана – Кука. Аналогичные результаты можно получить и для других видов разделенных граничных условий.
Выводы. Полученные новые результаты об асимптотике спектра семейства дифференциальных операторов могут быть применены к исследованию базисности собственных функций аналогичных операторов, изучению функции Грина и вычислению формул регуляризованных следов операторов, последовательность потенциалов которых сходится к дельта-функции Дирака. Метод дельта-потенциалов применяется в физике для исследования короткодействующих примесей, дефектов в различных системах. В атомной и ядерной физике огромную популярность имеет модель точечных потенциалов, это подтверждает необходимость изучения операторов с дельтапотенциалами. 

Ключевые слова

дифференциальный оператор с разрывными коэффициентами, асимптотика решений дифференциального уравнения, кусочно-суммируемый потенциал, дельта-функция Дирака, асимптотика собственных значений, спектр оператора 

 Скачать статью в формате PDF

1. Ильин В. А. О сходимости разложений по собственным функциям в точках разрыва коэффициентов дифференциального оператора // Математические заметки. 1977. Т. 22, № 5. С. 698–723.
2. Митрохин С. И. О формулах регуляризованных следов для дифференциальных операторов второго порядка с разрывными коэффициентами // Вестник Московского университета. Сер. 1, Математика. Механика. 1986. № 6. С. 3–6.
3. Митрохин С. И. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов второго порядка с разрывной весовой функцией // Доклады Академии наук. 1997. Т. 356, № 1. С. 13–15.
4. Митрохин С. И. О формулах следов для одной краевой задачи с функционально-дифференциальным уравнением с разрывным коэффициентом // Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22, № 6. С. 927–931.
5. Митрохин С. И. О спектральных свойствах дифференциальных операторов с разрывными коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28, № 3. С. 530–532.
6. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М. : Наука, 1977. 736 с.
7. Савчук А. М., Шкаликов А. А. Операторы Штурма – Лиувилля с сингулярными потенциалами // Математические заметки. 1999. Т. 66, № 6. С. 897–912.
8. Винокуров В. А., Садовничий В. А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма–Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34, № 10. С. 1423–1426.
9. Митрохин С. И. О спектральных свойствах дифференциального оператора четвертого порядка с суммируемыми коэффициентами // Труды Математического института им. В. А. Стеклова. 2010. Т. 270. С. 188–197.
10. Митрохин С. И. О спектральных свойствах одного дифференциального оператора с суммируемыми коэффициентами с запаздывающим аргументом // Уфимский математический журнал. 2011. Т. 3, № 4. С. 95–115.
11. Митрохин С. И. О спектральных свойствах дифференциального оператора с сум-
мируемым потенциалом и гладкой весовой функцией // Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2008. № 8. С. 172–187.
12. Митрохин С. И. Спектральные свойства краевых задач для функционально-дифференциального уравнения с суммируемыми коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46, № 8. С. 1085–1093.
13. Митрохин С. И. Асимптотика спектра периодической краевой задачи для дифференциального оператора с суммируемым потенциалом // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 1. С. 136–149.
14. Винокуров В. А., Садовничий В. А. Асимптотика собственных значений и собственных функций и формула следа для потенциала, содержащего δ -функции // Дифференциальные уравнения. 2002. Т. 38, № 6. С. 735–751.
15. Савчук А. М. Регуляризованный след первого порядка оператора Штурма – Лиувилля с δ -потенциалом // Успехи математических наук. 2000. Т. 55, № 6. С. 155–156.
16. Савчук А. М., Шкаликов А. А. Формула следа для операторов Штурма – Лиувилля с сингулярными потенциалами // Математические заметки. 2001. Т. 69, № 3. С. 427–442.
17. Березин Ф. А., Фадеев Л. Д. Замечание об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом // Доклады Академии наук. 1961. Т. 137, № 5. С. 1011–1014.
18. Борисов Д. И. О лакунах в спектре Лапласиана в полосе с периодическим дельта-взаимодействием // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2018. Т. 24, № 2. С. 46–53.
19. Митрохин С. И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора со знакопеременной весовой функцией // Известия вузов. Сер. : Математика. 2018. № 6. С. 31–47.
20. Митрохин С. И. Спектральные свойства дифференциальных операторов четного порядка с суммируемыми коэффициентами // Вестник Московского университета. Сер. 1, Математика. Механика. 2017. № 4. С. 3–15.
21. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М. : Наука, 1969. 528 с.
22. Беллман Р., Кук К. Л. Дифференциально-разностные уравнения. М. : Мир, 1967. 548 с.
23. Садовничий В. А., Любишкин В. А. О некоторых новых результатах теории регуляризованных следов дифференциальных операторов // Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18, № 1. С. 109–116.